Задача 116393

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC точки A₁, B₁, C₁ – основания высот из вершин A, B, C, точки C_А и C_В – проекции C₁ на AC и BC соответственно.
Докажите, что прямая C_АC_В делит пополам отрезки C₁A₁ и C₁B₁.

Решение

  Из решения задачи 108197 видно, что основания перпендикуляров, опущенных из вершины K треугольника KLM на биссектрисы углов L и M, лежат на средней линии, параллельной стороне LM. Аналогично доказывается то же для оснований перпендикуляров, опущенных на биссектрисы внешних углов.
  Высоты треугольника ABC являются биссектрисами (внешних или внутренних) углов треугольника A₁B₁C₁ (см. задачу 56512 а). Значит, перпендикулярные им стороны треугольника ABC – биссектрисы дополнительных углов. Как сказано выше, основания C_А и C_В перпендикуляров, опущенных из вершины C₁ на AC и BC, лежат на средней линии треугольника A₁B₁C₁, параллельной стороне A₁B₁. А это и требовалось.

Замечания

1. См. также задачу М2250 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №1).
2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2011/2012
Номер	33
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3