|
|
 |
Условие
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
Решение
Если найдутся две диаметрально противоположные красные точки K и K', то для любой другой красной точки L угол KLK' прямой, то есть хорды KL и LK' искомые. Далее считаем, что диаметрально противоположных красных точек нет.
Далее буквы без штрихов обозначают только красные точки, те же буквы со штрихом – диаметрально противоположные (синие). Если не оговорено противное, то рассматриваются только дуги с красными концами. |AB| обозначает длину кратчайшей дуги между точками A и B, s – длину полуокружности (это целое число, так как длина окружности четна). Дугу без внутренних красных точек назовём простой.
Назовём длинной дугу длины s – k, где 1 ≤ k ≤ 100. Она составлена из простых дуг, в том числе двух крайних – примыкающих к концам длинной дуги. Докажем, что если длины обеих крайних дуг не равны k, то искомые хорды найдутся.
Рассмотрим, где может находиться простая дуга длины k. Она не может примыкать к длинной снаружи (иначе объединение дуг образует полуокружность и есть диаметрально противоположные красные точки). Значит, концы дуг – четыре разные точки. Возможны два варианта взаимного расположения.
1) Простая дуга лежит вне длинной. Проведём две пересекающиеся хорды от концов длинной дуги к концам простой. Угол между хордами измеряется полусуммой угловых мер дуг, поэтому он прямой.
2) Простая дуга лежит на длинной. Проведём две непересекающиеся хорды от концов длинной дуги к концам простой. Угол между хордами измеряется полуразностью угловых мер дуги, дополнительной к длинной, и простой дуги, поэтому он прямой.
Осталось доказать, что найдётся длинная дуга, для которой дополняющая её до s простая дуга – не крайняя.
Назовём сверхдлинной дугу длины s – k, где 1 ≤ k ≤ 50. Для каждой точки A выберем свердлинную дугу с концом в этой точке: если A' лежит на простой дуге BC и k = |A'B| ≤ |A'C|, то k ≤ 50, и выбираем |AB| = s – k (при |A'B| = |A'C| выбираем обе: AB и AC). Тем самым выбрано не менее 50 сверхдлинных дуг. Докажем, что среди выбранных есть две дуги одинаковой длины. Если нет длины s – 50, то длин меньше чем дуг, и равные дуги найдутся по принципу Дирихле. Если длина s – 50 есть, она возникла при попадании A' в середину дуги BC длины 100, значит, есть две дуги длины s – 50. Обе дуги длины s – k могут иметь крайнюю дугу длины k, только если они пересекаются по этой дуге. Пусть |DF| = |EG| = s – k и они пересекаются по простой дуге EF длины k. Тогда DE и EF – непересекающиеся длинные дуги длины s – 2k, и хотя бы на одной из них не лежит простая дуга длины 2k.
Замечания
1. См. также задачу М2253 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №1).
2. 9 баллов.
