Задача 116410
|
|
 |
Условие
На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.
Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?
Решение
Из четырёх последовательных квадратов (за три операции) можно получить число 4: (n + 3)² – (n + 2)² – ((n + 1)² – n²) = (2n + 5) – (2n + 1) = 4.
Получим так 24 четверки из чисел 6², 7², ..., 101². 20 четвёрок попарным вычитанием превратим в нули. Из чисел 4, 9, 16, 25 получим
14 = (25 – 4) – (16 – 9). Из оставшихся чисел (14, 4, 4, 4, 4, 1) получим единицу: 4 – (14 – 4 – 4 – 4) – 1 = 1.
Получить 0 нельзя, поскольку чётность суммы всех чисел сохраняется.
Ответ
1.
Замечания
5 баллов
