ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116425
Темы:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Четность и нечетность ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Возьмём все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.
  а) Какая наименьшая сумма может получиться?
  б) А какая наибольшая?


Решение

  а) Оценка. Если два соседних произведения равны, то первое число левого равно последнему числу правого, то есть равны числа через 10 мест. Так как 10 и 999 взаимно просты, то шагая по 10, мы обойдём все числа. Но среди чисел есть разные, значит и среди произведений – тоже. Итак, есть хотя бы одно произведение, равное 1.
  Пример, где ровно одно произведение равно 1, а остальные 998 равны –1: если номер числа оканчивается на 9, ставим –1, иначе 1. Тогда единственное положительное произведение – с 999-го места по 9-е.

  б) Пример: две минус единицы рядом, остальные числа – единицы. Отрицательными будут только те произведения, куда одна минус единица входит, а другая – нет; а таких ровно два.
  Оценка. Произведение всех 999 произведений равно 10-й степени произведения всех чисел, то есть 1. Значит, среди произведений чётное число минус единиц, то есть не меньше двух.


Ответ

а) – 997;   б) 995.

Замечания

баллы: 3 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .