|
|
 |
Условие
Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр числа n³ равняться 1000000?
Решение
Достаточно взять число, у которого единицы стоят на 1-м, 10-м, 100-м, ..., 1099-м месте (считая справа).
Ответ
Может.Замечания
Идеология. Рассмотрим многочлен (1 + x1 + x2 + ... + x99)³. Каждый из его коэффициентов равен 1, 3 или 6, а сумма коэффициентов равна 100³ (она получается, когда мы все переменные заменим единицами). Если вместо xk подставить 10pk так, что всем одночленам соответствуют разные степени десятки, то наши коэффициенты превратятся в цифры числа
(1 + 10p1 + ... + 10p99)³. Требуемое условие выполняется, если pk+1 > 3pk (k = 0, ..., 99,
p0 = 0). Действительно, пусть i ≥ j ≥ k, l ≥ m ≥ n, i > l. Одночлену xixjxk соответствует 10pi+pj+pk > 10pi > 103pl > 10pl+pm+pn, что соответствует одночлену xlxmxn.
6 баллов.
