Задача 116436

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Найдите наибольшее значение выражения  x²y – y²x,  если  0 ≤ x ≤ 1  и  0 ≤ y ≤ 1.

Решение

  x²y – y²x = xy(x – y) > 0   при  x > y > 0,  значит, наибольшее значение данного выражения (если оно достигается) положительно. Поэтому достаточно рассмотреть случай  0 < y < x ≤ 1.
  При этих ограничениях согласно неравенству Коши   4xy(x – y) ≤ x(y + (x – y))² = x³ ≤ 1.   Следовательно, наибольшее значение нашего выражения равно ¼ и достигается при  x = 1,  y = x – y = ½.

Ответ

¼.

Замечания

Можно также исследовать наше выражение, считая его квадратичной функцией от одной из переменных.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
Класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.3.1