|
|
 |
Условие
Имеется 200 гирек массами 1, 2, ..., 200 грамм. Их разложили на две чаши весов по 100 гирек на каждую, и весы оказались в равновесии. На каждой гирьке записали, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, записанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, записанных на гирьках правой чаши.
Решение
Для каждой гирьки рассмотрим общее количество тех гирек, которые легче неё. Если масса гирьки равна m, то для неё таких гирек будет m – 1. Так как весы находятся в равновесии, то для обеих чаш весов суммы S таких чисел одинаковы: на 100 меньше, чем сумма масс гирек на чаше.
На каждой чаше упорядочим гирьки по массе и для каждой из них
рассмотрим количество тех гирек, которые легче неё и лежат на этой же чаше. Для самых легких гирь это число будет равно 0 (на каждой чаше), для следующих по массе это число равно 1 (на каждой чаше), и так далее. Поскольку все гирьки имеют различные массы и на каждой чаше – одинаковое количество гирек, то и суммы Q таких чисел для обеих чаш одинаковы.
Следовательно, сумма чисел, записанных на гирьках каждой чаши, равна S – Q.
Замечания
Нетрудно подсчитать, что суммы, о которых идёт речь в условии, равны 5000.
