Задача 116489

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что  MN || AB.  На стороне AC отмечена точка K так, что  CK = AM.  Отрезки AN и BK пересекаются в точке F. Докажите, что площади треугольника ABF и четырёхугольника KFNC равны.

Решение

Пусть  S_ABC = S.  Тогда  S_ABN : S = BN : BC = AM : AC = CK : AC = S_BKC : S  (см. рис.).

Следовательно,  S_ABN = S_BKC  и  S_ABF = S_ABN – S_BFN = S_BKC – S_BFN = S_KFNC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2011
Класс
Класс	10
Задача
Номер	10.3