|
|
 |
Условие
Известно, что A – наибольшее из чисел, являющихся произведением нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 2011.
На какую наибольшую степень тройки делится число A?
Решение
1) Заметим, что среди множителей, входящих в A, нет единиц. Действительно, в представлении числа 2011 в виде суммы можно два слагаемых 1 и a заменить на одно слагаемое 1 + a, и произведение при этом увеличится: 1 + a > 1·a.
2) Докажем, что среди множителей, входящих в A, нет чисел, больших 4. Действительно, если A ≥ 5, то 2a – 9 > 0, то есть a < 3(a – 3), и, заменив слагаемое a на два слагаемых a – 3 и 3, можно сохранить сумму и увеличить произведение.
3) Если заменить 4 на две двойки, то ни сумма, ни произведение не изменятся. Поэтому можно считать, что среди множителей, входящих в A, четвёрок также нет. Таким образом, в произведении A встречаются только множители 2 и 3.
4) Двоек может быть не более двух, так как 2 + 2 + 2 = 3 + 3, а 2³ < 3².
5) Числа 2011 и 2009 = 2011 – 2 не кратны 3, а число 2007 = 2011 – 2 – 2 кратно 3. Следовательно, в произведении A – ровно две двойки. Таким образом, A = 2²·3669.
Ответ
На 3669.
