Задача 116514

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Касающиеся сферы ] [ Неопределено ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Условие

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

Подсказка

Если окружности радиусов r и R касаются внешним образом, то отрезок их общей внешней касательной, заключённый между точками касания равен .

Решение

Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором ∠C = 90°, ∠A = 90°, BC = 1. Тогда AB = 2, . Обозначим через x, y и z радиусы сфер с центрами O₁, O₂ и O₃, касающихся плоскости треугольника ABC в точках A, B и C соответственно и попарно касающихся между собой внешним образом (рис.1).

Прямые O₂B и O₃C перпендикулярны плоскости треугольника ABC, поэтому O₂B || O₃C. Проведём через эти прямые плоскость (рис.2). Получим касающиеся окружности радиусов y и z с центрами O₂, O₃ и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B и C. Поскольку BC = 1, имеем уравнение . Аналогично и . После очевидных преобразований получим систему уравнений

Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на третье, найдём, что . Аналогично находим y и z.

Ответ

ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7502