Задача 116535

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

В прямоугольном треугольнике АВС угол А равен 60°, М – середина гипотенузы АВ.
Найдите угол IMA, где I – центр окружности, вписанной в данный треугольник.

Решение 1

  Пусть r – радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, D, E и F – точки её касания со сторонами АВ, ВС и АС соответственно (см. рис.).

  Очевидно четырёхугольник CEIF – квадрат, поэтому  CE = r.
  По условию  АВ = 2АC,  значит,  АM = AC.  Отсюда  DM = AM – AD = AC – AF = r.
  Таким образом, треугольник IDM – прямоугольный и равнобедренный, следовательно,  ∠IMA = 45°.

  Замечание. Равенство  DМ = r  можно также получить из формулы для вычисления радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике (см. задачу 52552) и равенства  BD = p – b  (см. задачу 52554).

Решение 2

  Рассмотрим равносторонний треугольник АВD, для которого отрезок ВС служит медианой. При симметрии относительно биссектрисы угла А середина M стороны АВ переходит в середину C стороны АD. Следовательно, угол IMА равен углу IСA, который, очевидно. равен 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3.2