Задача 116538

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

Решение

  В одном из рассматриваемых треугольников проведём через вершину А прямую параллельно CM, которая пересечёт прямую ВС в точке K (см. рис.).

  По теореме Фалеса,  KC = BC,  то есть CM – средняя линия треугольника AKB. Следовательно,  AK = 2CM.
  Так как положение вершин В и С фиксировано, то положение точки K также фиксировано. При движении точки А длина отрезка AK не изменяется, следовательно, точка А движется по окружности с центром К и радиусом 2СМ. (Из этой окружности надо исключить две точки, лежащие на прямой BC.)

Ответ

По окружности.

Замечания

Можно также использовать гомотетию с центром В и коэффициентом 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4.2