Задача 116616

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь параллелограмма ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

В трапеции ABCD  (AD || BC)  из точки Е – середины CD провели перпендикуляр EF к прямой AB. Найдите площадь трапеции, если  АВ = 5,  EF = 4.

Решение

  Достаточно доказать, что площадь трапеции в два раза больше площади треугольника ABE (которая равна 10).

  Первый способ. Проведём через точку Е прямую, параллельную боковой стороне АВ, и отметим точки P и Q её пересечения с прямыми AD и ВС соответственно (см. рис.).

  ABQP – параллелограмм. Кроме того, треугольники PED и QEC равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), значит, равны и их площади. Таким образом,  S_ABCD = S_ABQP = 2 S_ABE.

  Второй способ. Пусть – точка пересечения прямых ВE и AD. Треугольники ВEС и GED равны, поэтому  S_ABCD = S_ABG = 2 S_ABE.

  Третий способ. См. решение задачи 54964.

Ответ

20.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.1.2