Задача 116628

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.

Решение

Рассмотрим правильную пирамиду SABC и проведём высоту BH грани ABS (см. рис.).

Так как боковые грани пирамиды равны, то  CH = BH  и  CH ⊥ SA.  Высота BH меньше стороны  AB = BC,  поэтому BC – наибольшая сторона равнобедренного треугольника BHC, следовательно,  ∠BHC > 60°.  Но угол BHC и есть линейный угол двугранного угла между боковыми гранями пирамиды.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.5.2