ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116668
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В каждой клетке таблицы 10×10 записано число. В каждой строке подчеркнули наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце – наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчёркнутые числа подчёркнуты ровно два раза. Докажите, что все числа, записанные в таблице, между собой равны.


Решение 1

  Рассмотрим два произвольных подчёркнутых числа A и B. Из условия следует, что они расположены в разных строках и в разных столбцах. Пусть на пересечении строки, в которой находится число A, и столбца, в котором находится число B, стоит число C, а на пересечении строки, в которой находится число B, и столбца, в котором находится число A, стоит число D (см. рис.).

  По условию  B ≤ C ≤ A ≤ D ≤ B.  Следовательно,  A = B.
  Таким образом, любые два подчёркнутых числа равны. Рассмотрим теперь произвольное число таблицы, которое не подчёркнуто. Оно не меньше числа, подчёркнутого в его столбце, и не больше числа, подчёркнутого в его строке, следовательно, оно им равно. Итак, все числа между собой равны.


Решение 2

  Пусть в первой строке подчёркнуто число a1, во второй – a2, ..., в десятой – a10. Сумма чисел каждой строки не превышает подчёркнутого в этой строке числа, умноженного на 10, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда все числа в этой строке равны. Следовательно, сумма всех чисел таблицы  S ≤ 10(a1 + ... + a10) , и равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждой строке все числа одинаковы.
   Проведя аналогичное рассуждение о наименьших числах в столбцах и учитывая, что подчёркнуты те же самые числа, получим, что
S ≥ 10(a1 + ... + a10),  причём равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждом столбце все числа одинаковы.
  Таким образом,  S = 10(a1 + ... + a10),  и в каждой строке, и в каждом столбце стоят одинаковые числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 10 (2012 год)
Дата 2012-03-9
класс
1
Класс 7 класс
задача
Номер 7.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .