ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116674
Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?


Решение

Есть несколько конфигураций точек, для которых Саша не сможет добиться своего. Приведём два примера.

Конструкция 1. Поместим на окружности три маленькие дуги, полученные друг из друга поворотами на 120°, отметим по 33 точки на каждой дуге и ещё центр окружности (рис. слева). Отрезок из центра соединён с точкой на некоторой дуге. Он не пересечётся с отрезками, чьи концы лежат на других дугах. А такие отрезки есть, так как на двух дугах точек больше, чем на одной и в центре.

           

Конструкция 2. Возьмём квадрат ABCD и расположим 99 точек Q1, ..., Q99 на дуге BD окружности с центром A и радиусом, равным стороне квадрата. В качестве 100-й точки возьмём точку C (рис. справа). С какой бы точкой Qn Саша ни соединил отрезком точку С, из оставшихся 49 отрезков QiQj отрезок CQn не будет пересекать вообще ни один: все отрезки QiQj лежат внутри круга с центром A и радиусом AB, а отрезок CQn – вне его.


Ответ

Не всегда.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 75
Год 2012
класс
Класс 8
задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .