ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116688
УсловиеДан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC. Решение Заметим, что центр I вписанной окружности треугольника ABC является ортоцентром треугольника KLM, образованного внешними биссектрисами. Проведём через I прямую m, параллельную l. Прямые ma, mb, mc, симметричные m относительно этих биссектрис, пересекаются в одной точке T, лежащей на описанной окружности Ω треугольника KLM (см. задачу 55657). Тогда прямые la, lb, lc удалены от T на расстояние, равное радиусу r вписанной в треугольник ABC окружности. Таким образом, окружность ωT радиуса r с центром T является либо вписанной, либо вневписанной окружностью образованного этими прямыми треугольника Δ. Замечания1. См. также задачу М2272 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №4). Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|