ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116688
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.


Решение

  Заметим, что центр I вписанной окружности треугольника ABC является ортоцентром треугольника KLM, образованного внешними биссектрисами. Проведём через I прямую m, параллельную l. Прямые ma, mb, mc, симметричные m относительно этих биссектрис, пересекаются в одной точке T, лежащей на описанной окружности Ω треугольника KLM (см. задачу 55657). Тогда прямые la, lb, lc удалены от T на расстояние, равное радиусу r вписанной в треугольник ABC окружности. Таким образом, окружность ωT радиуса r с центром T является либо вписанной, либо вневписанной окружностью образованного этими прямыми треугольника Δ.
   Когда прямая l совпадает с прямой BC, как легко проверить, Δ симметричен треугольнику ABC относительно внешней биссектрисы угла A. Значит, в этом случае точка T – центр вписанной окружности треугольника Δ (радиусы вневписанных окружностей больше r).
  Будем вращать прямую l вокруг I. При этом прямые la, lb, lc будут вращаться с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении. С точки зрения "наблюдателя", сидящего в точке T (которая двигается по окружности Ω), весь треугольник Δ будет вращаться вокруг него, а его стороны будут все время касаться (постоянной для наблюдателя) окружности ωT. Значит, его размеры меняться не будут, и он всегда будет равен треугольнику ABC.

Замечания

1. См. также задачу М2272 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №4).
2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 75
Год 2012
класс
Класс 9
задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .