|
|
 |
Условие
Из плоскости вырезали равносторонний треугольник.
Можно ли оставшуюся часть плоскости замостить треугольниками, любые два из которых подобны, но не гомотетичны?
Решение
Приведём два примера такого замощения.
Пример 1. Отложим на продолжениях сторон вырезанного треугольника точки A1, B1, C1 так что AA1 = BB1 = CC1 = xAB (рис. слева). Треугольники A1AB1, B1BC1 и C1CA1 равны, а треугольник A1B1C1 – равносторонний. Теперь продлим стороны треугольника A1B1C1 и отметим на продолжениях точки A2, B2, C2 так, что A1A2 = B1B2 = C1C2 = xA1B1. Треугольники A2A1B2, B2B1C2 и C2C1A2 равны между собой и подобны треугольнику A1A2B1. Аналогично построим точки A3, B3, C3 и так далее. Размеры треугольников AkBkCk растут как геометрическая прогрессия, поэтому вся плоскость будет покрыта. Таким образом, мы получили разбиение плоскости на подобные треугольники вида AiBi–1Bi, BjBj–1Cj и
CkCk–1Ak.
Посмотрим на равносторонние треугольники AkBkCk. Все они имеют общий центр, направления сторон соседних отличается поворотом на угол
B1C1B. Для того чтобы треугольники разбиения не были гомотетичны, подберём величину x так, чтобы угол B1C1B был иррациональным. Тогда для любой пары треугольников замощения их длинные стороны не будут параллельны между собой, а значит, треугольники не будут гомотетичны. Следовательно, данное разбиение удовлетворяет условию.
Пример 2. См. рис. справа. Все треугольники равны. Равные треугольники могут быть гомотетичны только с коэффициентом –1. Но центрально симметричных треугольников на рисунке нет.
Ответ
Можно.
Замечания
Возможны и другие способы разбиения.
