|
|
 |
Условие
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
Решение 1
Предположим, что это не так. Рассмотрим грань A1A2...An, в которой есть два равных ребра A1A2 и A2A3, выходящие из одной вершины (по условию такая грань существут). Рассмотрим также рёбра AiBi, не лежащие в этой грани (некоторые точки Bi могут совпадать). По предположению A3A4 ≠ A3A2, A3B3 ≠ A3A2, следовательно, A3B3 = A3A4. Далее A4A5 ≠ A4A3, A4B4 ≠ A4A3, значит, A4A5 = A4B4. Продолжая, получим, что A1A2 = A1B1. Противоречие.
Решение 2
Пусть есть n вершин, тогда рёбер 3n/2. Для каждой вершины выберем пару равных рёбер с общим концом в этой вершине, всего n пар. Если все пары различны, то в них уже 2n > 3n/2 рёбер. Противоречие.
Замечания
4 балла
