|
|
 |
Условие
Дан равносторонний треугольник ABC и прямая l, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника ABC.
Решение 1
Пусть O – центр треугольника, M и K – точки пересечения прямой l со сторонами AB и BC соответственно, C1 и A1 – середины сторон, M1 и K1 – образы точек M и K при указанной симметрии (рис. слева). Докажем, что O – центр вневписанной окружности треугольника M1BK1, откуда следует утверждение задачи.
Воспользуемся известным фактом:
сторона AC треугольника ABC видна из центра IB вневписанной окружности, касающейся стороны AC, под углом 90° – 1/2 ∠B.
Очевидно, верно и обратное:
если точка IB лежит на продолжении биссектрисы угла B треугольника ABC и ∠AIBC = 90° – 1/2 ∠B, то IB – центр вневписанной окружности треугольника ABC.
Так как BO – биссектриса угла B, то достаточно доказать, что ∠M1OK1 = 60°. Заметим, что ∠OM1M + ∠OK1K = ∠BMK + ∠BKM = 120°. Тогда из четырёхугольника M1BK1O: ∠M1OK1 = 360° – (180° – ∠OM1M) – (180° – ∠OK1K) – 60° = 60°.
Решение 2
Отразим отрезок MK относительно высот AA1 и CC1 треугольника ABC (рис. справа). Получим отрезки K1M2 и M1K2 (точки K2 и M2 лежат на стороне AC). Из симметрии OM1 = OM = OM2 и OK1 = OK = OK2. Кроме того, ∠M1OK1 = ∠M2OK2, поэтому треугольники M1OK1 и M2OK2 равны, а следовательно, равны (и равны радиусу окружности) их высоты, проведённые из O.
