Задача 116845

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Шахматная раскраска ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Условие

В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)

Решение

Раскрасим все клетки в шахматном порядке (см. рисунок).

Назовём числа белыми (чёрными), если они стоят на белых (чёрных) клетках. Заметим, что в исходном квадрате сумма белых чисел равна сумме чёрных. Прибавляя к числам, стоящим в соседних клетках, одно и то же число, мы одинаково изменяем сумму белых и сумму чёрных чисел. Поэтому равенство сумм не нарушится. Но во втором квадрате сумма белых чисел равна 0, а сумма чёрных равна 4. Поэтому такой квадрат не может получиться из исходного.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	7
Задача
Номер	7.5