Задача 116848

Темы:    [ Параллелограммы: частные случаи (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ. На стороне BC выбрана точка K так, что  ∠KDB = ∠BDA.
Найдите отношение  BK : KC.

Решение

Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Из условия следует, что  AB = AO = OC = CD  (см. рис.).

Так как ∠KDB = ∠BDA = ∠DBK,  то  BK = KD,  поэтому медиана KO треугольника BKD является его высотой. Так как  OC = CD,  то медиана CQ треугольника OCD также является его высотой. Таким образом,  CQ || KO,  Значит,  BK : KC = BO : OQ = 2 : 1.

Ответ

2 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	9
Задача
Номер	9.3