Задача 116851

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через концы основания BC трапеции ABCD провели окружность, которая пересекла боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что точка T пересечения отрезков AN и DM также лежит на этой окружности. Докажите, что  TB = TC.

Решение

Так как четырёхугольник MBCN – вписанный, то  ∠MBC = ∠MND  (см. рис.).

Следовательно,  ∠MND + ∠MAD = ∠MBC + ∠MAD = 180°,  поэтому четырёхугольник MADN – также вписанный, и  ∠TCB = ∠TND = ∠TMA = ∠TBC.  Значит,  TB = TC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	9
Задача
Номер	9.6