Задача 116869

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Квадратный трёхчлен  ax² + 2bx + c  имеет два различных корня, а квадратный трёхчлен  a²x² + 2b²x + c²  корней не имеет.
Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.

Решение

  Пусть x₁, x₂, D₁ – корни и упрощённый дискриминант первого трёхчлена, D₂ – упрощенный дискриминант второго трёхчлена.
  По теореме Виета  x₁x₂ = ^c/_a,  поэтому достаточно доказать неравенство  ac < 0.
  У первого трёхчлена есть два различных корня, поэтому  D₁ = b² – ac > 0.  У второго трёхчлена корней нет, поэтому  D₂ = b⁴ – a²c² < 0.
Так как  b⁴ – a²c² = (b² – ac)(b² + ac),  то  b² + ac < 0.  Тем более,  ac < 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	10
Задача
Номер	10.2