Задача 116871

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Вася придумал новую шахматную фигуру "супер-слон". Один "супер-слон" (обозначим его A) бьёт другого (обозначим его B), если они стоят на одной диагонали, между ними нет фигур, и следующая по диагонали клетка за "супер-слоном" B свободна. Например, на рисунке фигура a бьёт фигуру b, но не бьёт ни одну из фигур c, d, e, f и g.

Какое наибольшее количество "супер-слонов" можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый из них бился хотя бы одним другим?

Решение

  Пример приведён на рисунке.

  Оценка. Докажем, что больше 32 фигур разместить не удастся. Заметим сначала, что на крайних клетках доски "супер-слоны" стоять не могут (иначе их никто не бьёт). Разобьём внутренний квадрат 6×6 на четыре квадрата 3×3 (см. рис.). В каждом из этих квадратов все клетки занятыми быть не могут, поскольку в противном случае "супер-слон", стоящий в центральной клетке маленького квадрата, никем не бьётся. Следовательно, можно поставить не более  6·6 – 4 = 32  фигур.

Ответ

32.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	10
Задача
Номер	10.4