Условие
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). На дуге AD (не содержащей точек B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат на одной окружности.
Решение
Пусть K, L, N и S – основания перпендикуляров (см. рис.).
Из равенства сторон AB и CD следует равенство соответствующих дуг, а следовательно и вписанных углов AMB и DMC, опирающихся на эти дуги. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Так как ∠AKM = ∠ANM = 90°, то точки A, K, N и M лежат на одной окружности. Аналогично точки D, L, S и M лежат на одной окружности.
Используя равенство вписанных углов, получим, что
∠KNL = 90° – ∠KNA = 90° – ∠KMA = 90° – ∠LMD = 90° ∠LSD = ∠KSL, то есть точки K, L, N и S лежат на одной окружности.
Другие случаи расположения точек рассматриваются аналогично.
Второй способ. Треугольники MSD и MNA (а также MLD и MKA) подобны по двум углам. Следовательно, MS : MN = MD : MA = ML : MK, то есть ML·MN = MS·MK. Используя утверждение, обратное свойству секущих, получим требуемое.
