Задача 116897

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Штейнгарц Л.

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других.

Решение

  Пусть квадрат ABCD перегнули по прямой XY. Обозначим получившиеся точки, как на рисунке.

  Диаметры вписанных окружностей треугольников UDX, UAP и PVY равны соответственно  d₁ = UD + DX – XU,  d₂ = UA + AP – UP  и
d₃ = PV + VY – PY  (см. задачу 56847). Обозначив сторону квадрата через a и заметив, что  UX = XC  и  VY = YB,  получаем
d₁ + d₂ – d₃ = DU + (a – CX) – CX + PV + BY – PY – (a – DU) – (a – PY – BY) + (a – PV) = 2(DU + BY – CX).
  Опустим перпендикуляр YK на CD. Точки C и U симметричны относительно XY, поэтому  XY ⊥ CU  и  ∠DCU = ∠KYX.  Кроме того,  KY = CD = a.  Следовательно, прямоугольные треугольники CDU и YKX равны, поэтому  DU = KX = CX – CK = CX – BY.  Это и значит, что  d₁ + d₂ – d₃ = 0.

Замечания

В первой части решения можно рассуждать по-другому. Прямоугольные треугольники DXY, VYP и AUP подобны; значит, радиусы их вписанных окружностей относятся так же, как соответствующие катеты. Поэтому достаточно доказать равенство  DX + VY = AU,  или  DX + CK = a – DU.  Но из второй части решения видно, что  DU = KX,  откуда и следует требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3