|
|
 |
Условие
Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.
Докажите, что среди них есть треугольник.
Решение
Пусть квадрат разрезан на n многоугольников. Каждый из этих многоугольников имеет не более одной стороны на каждой из сторон квадрата; с любым же из остальных многоугольников разбиения он граничит не более чем по одной стороне. Следовательно, всего у него может быть не более
4 + (n – 1) = n + 3 сторон.
Итак, количество сторон любого многоугольника разбиения не меньше 3 и не больше n + 3. Если среди них нет треугольника, то количества их сторон должны быть равны 4, 5, ..., n + 3. Но тогда (n+3)-угольник должен примыкать ко всем сторонам квадрата. Поэтому каждый из остальных многоугольников может примыкать не более чем к двум сторонам квадрата и, следовательно, иметь не более 2 + (n – 1) = n + 1 стороны. Значит, среди многоугольников разбиения нет (n+2)-угольника. Противоречие.
