ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116904
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.


Решение

  Проведём через A1, B1 и C1 прямые a, b и c, параллельные соответственно BC, CA и AB; покажем, что они вторично пересекают описанную окружность в одной и той же точке. Действительно, пусть c пересекает окружность вторично в точке P (если она касается окружности, то  P = C1).  Тогда, поскольку  AB || C1P  и  AA1 || CC1,  (направленные) дуги BP, C1A и A1C равны. Это и означает, что  A1P || BC,  то есть a проходит через P. Аналогично b проходит через P (см. рис.).

  Точки C1 и P симметричны относительно серединного перпендикуляра к AB, а точки C1 и C2 симметричны относительно AB; это значит, что P и C2 симметричны относительно середины C0 отрезка AB; аналогично, A2 и B2 симметричны точке P относительно середин A0 и B0 соответствующих сторон треугольника ABC. Таким образом,   ;   аналогично     и   .   Следовательно, треугольники ABC и A2B2C2 центрально симметричны, и прямые, соединяющие их соответствующие вершины, проходят через центр симметрии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .