ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116904
УсловиеЧерез вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке. РешениеПроведём через A1, B1 и C1 прямые a, b и c, параллельные соответственно BC, CA и AB; покажем, что они вторично пересекают описанную окружность в одной и той же точке. Действительно, пусть c пересекает окружность вторично в точке P (если она касается окружности, то P = C1). Тогда, поскольку AB || C1P и AA1 || CC1, (направленные) дуги BP, C1A и A1C равны. Это и означает, что A1P || BC, то есть a проходит через P. Аналогично b проходит через P (см. рис.). Точки C1 и P симметричны относительно серединного перпендикуляра к AB, а точки C1 и C2 симметричны относительно AB; это значит, что P и C2 симметричны относительно середины C0 отрезка AB; аналогично, A2 и B2 симметричны точке P относительно середин A0 и B0 соответствующих сторон треугольника ABC. Таким образом, ; аналогично и . Следовательно, треугольники ABC и A2B2C2 центрально симметричны, и прямые, соединяющие их соответствующие вершины, проходят через центр симметрии.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|