Задача 116911

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Степень вершины ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

При каких n можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба n×n×n бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

Решение

  Куб 2×2×2 так оклеить можно (см. угловой кубик на рисунке). Если n чётно, разобьём куб n×n×n на кубики 2×2×2 и окрасим их в шахматном порядке. Заменим эти кубики на оклеенные указанным образом, причём будем располагать их так, что на верхних гранях чёрных кубиков длинные стороны прямоугольников идут в одном направлении, а на верхних гранях белых – в другом. Тогда каждый прямоугольник и будет граничить с пятью другими (см. рисунок).

  При нечётных n общее число прямоугольников равно 3n², то есть нечётно. Поэтому у какого-то из них число соседей должно быть чётным (см. задачу 87972). Значит, требуемая оклейка невозможна.

Ответ

При всех чётных n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1