Задача 116918

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; H_x, H_y, H_z – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки H_x, H_y, H_z лежат на одной прямой.

Решение

  Точки X и Y лежат на диагоналях BD и AC соответственно; поэтому прямые AC и BD содержат высоты треугольников AXB и CYD. Отметим на отрезках AM и DM точки P и Q так, что  AP = DQ = AD.  Тогда AX – биссектриса и, следовательно, высота в равнобедренном треугольнике ABP; значит, ортоцентр H_x – это точка пересечения прямых BP и AC. Аналогично H_y – точка пересечения CQ и BD. Из тех же соображений получаем  AZ ⊥ DP,
DZ ⊥ AQ,  так что H_z – точка пересечения прямых AQ и DP (см. рис.).

  Применим теорему Дезарга к треугольникам BPD и CAQ: прямые BC, PA и DQ, соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в точке M, следовательно, точки пересечения прямых, содержащих соответственные стороны этих треугольиков, лежат на одной прямой. Как показано выше, эти точки и есть H_x, H_y и H_z.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	10
задача
Номер	10.8