Задача 116923

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

В четырёхугольнике есть два прямых угла, а его диагонали равны. Верно ли, что он является прямоугольником?

Решение

  Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором  АС = BD.  Возможны два случая: прямые углы либо соседние, либо противоположные.
  1) Пусть углы A и D – прямые (рис. слева). Тогда прямоугольные треугольники ABD и DCA равны по гипотенузе и катету. Следовательно,  АВ = DC.  Кроме того,  АВ || DC. Таким образом, ABCD – параллелограмм с прямым углом, то есть – прямоугольник.

             

  2) Пусть углы A и С – прямые, тогда точки A и C лежат на окружности с диаметром BD (рис. справа). Так как диаметр окружности является её наибольшей хордой, то АС – также диаметр этой окружности; значит, углы В и D – также прямые.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2.2