|
|
 |
Условие
Найдите все пары простых чисел p и q, обладающие следующим свойством: 7p + 1 делится на q, а 7q + 1 делится на p.
Решение
Будем считать, что p < q (равны эти числа быть не могут).
Первый способ. Число 7p + 7q + 1, очевидно, делится на pq. Значит, 7p + 7q + 1 ≥ pq, откуда либо p ≤ 7, либо (p – 7)² < (p – 7)(q – 7) ≤ 50, то есть
p ≤ 14. Поэтому p может принимать лишь значения 2, 3, 5, 7, 11 или 13, а 7p + 1 – соответственно значения 15, 22, 36, 50, 78 или 92. Проверкой простых делителей этих чисел убеждаемся, что условию задачи удовлетворяют лишь три пары, приведённые в ответе.
Второй способ. Если p = 2, то q – делитель числа 15, то есть q = 3 или 5, и оба варианта удовлетворяют условию.
Пусть p ≥ 3. Тогда числа 7p + 1 и 7q + 1 чётны: 7p + 1 = 2aq, 7q + 1 = 2bp, где a < b. Поэтому
Следовательно, 49 < 4ab ≥ 49 + 7/3 + 7/5 + 1/15 < 53, а значит, 4ab = 52, то есть ab = 13.
Итак, a = 1, b = 13, 7p + 1 = 2q, 7q + 1 = 26p. Отсюда 49p + 7 = 14q = 52p – 2, так что p = 9 : 3 = 3, q = (7·3 + 1) : 2 = 11.
Ответ
2 и 3, 2 и 5, 3 и 11.
