Задача 116988

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что  Р(1) = 2013,  Р(2013) = 1,  P(k) = k,  где k – некоторое целое число. Найдите k.

Решение

По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562)  k – 2013 = P(k) – P(1)  делится на  k – 1,  а  k – 1 = P(k) – P(2013)  делится на  k – 2013.  Следовательно,  |k – 2013| = |k – 1|.  Решением полученного уравнения является середина отрезка  [1, 2013],  то есть
k = ½ (1 + 2013) = 1007.

Ответ

1007.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.2.1