Задача 116995

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Признаки подобия ] [ Точка Торричелли ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если  BD = a.

Решение

  Из условия следует, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 120°  (см. рисунок).

  Из треугольника АВD:  ∠DAB + ∠DBA = ∠B = 60°,  значит,  ∠DAB = ∠DBС.  Следовательно, треугольники DAB и DBС подобны. Поэтому
AD : BD = BD : CD,  то есть  AD·CD = BD² = a².  Значит,  S_ADC = AD·CD·sin 120°  – величина постоянная.
  Таким образом, площадь треугольника АВС будет наименьшей, если будет наименьшей сумма площадей треугольников ADB и BDC. Но
S_ADB + S_BDC = ½ a(AD + CD) sin 120°,  а сумма  AD + CD  минимальна, когда треугольник ADC равнобедренный (см. задачу 32883 б).
  В этом случае, очевидно, треугольник АВС равносторонний и  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.4.2