Задача 30369

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Условие

Решите в натуральных числах уравнение:
  а)  x² – y² = 31;
  б)  x² – y² = 303.

Подсказка

Разложите левую часть на множители.

Решение

  x² – y² = (x – y)(x + y).

  а) Так как произведение равно простому числу 31, то больший множитель равен 31, а меньший – 1. Итак,  x – y = 1,  x + y = 31 , откуда  x = 16,  y = 15.

  б)  303 = 1·303 = 3·101.  Имеем два случая.
     1)  x – y = 1,  x + y = 303,  откуда  x = 152,  y = 151.
     2)  x – y = 3,  x + y = 101,  откуда  x = 52,  y = 49.

Ответ

а)  (16, 15);   б)  (152, 151),  (52, 49).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	012