Задача 30378

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

а) Докажите, что  p² – 1  делится на 24, если p – простое число и  p > 3.
б) Докажите, что  p² – q²  делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Подсказка

См. задачу 30377.

Решение

  а) Согласно задаче 30777 число  p³ – p = p(p² – 1)  делится на 24. Но простое число p ни на 2, ни на 3 не делится. Поэтому  p² – 1  делится на 24.

  б)  p² – q² = (p – q)(p + q).  p – q  и  p + q  – чётные числа, причём их разность 2q не кратна 4. Значит, одно из этих чисел делится на 4.
  2q также не кратно 3, значит,  p – q  и  p + q  дают разные остатки при делении на 3. Если бы ни одно из этих чисел не было кратно 3, то сумма
(p – q) + (p + q) = 2p  делилась бы на 3. Но это не так.
  Поэтому  (p – q)(p + q)  делится на  2·4·3 = 24.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	021
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.023
кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	3
задача
Номер	3.1