Задача 30394

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

p и  p² + 2  – простые числа. Докажите, что  p² + 2  – также простое число.

Подсказка

Рассмотрите остатки от деления на 3.

Решение

  Если число p делится на 3 и больше 3, то оно не простое.
  Пусть p не делится на 3 и больше 1. Тогда p² даёт остаток 1 от деления на 3, то есть  p² + 2  делится на 3. Поскольку  p² + 2 > 3,  то это число – составное.
  Остаётся единственная возможность  p = 3.  При этом  p³ + 2 = 29.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	037
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.067
web-сайт
задача