Задача 30663

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Решить в целых числах уравнение  3^m + 7 = 2ⁿ.

Решение

Левая часть не меньше 7, поэтому n не меньше, чем 3. Тогда правая часть не меньше 8, и m неотрицательно.

При m = 0 имеем 2ⁿ = 8 и n = 3.

  Если m > 0, то по модулю 3 левая часть сравнима с 1, поэтому n чётно, то есть  n = 2k.  2^2k – 7 = 4^k – 7 ≡ 1 (mod 4),  значит, и m чётно:  m = 2p.  Преобразуем уравнение:
7 = 2^2k – 3^2p = (2^k – 3^p)(2^k + 3^p).
  Отсюда  2^k + 3^p = 7,  2^k – 3^p = 1,  и мы получаем единственное решение  k = 2,  p = 1,  то есть  m = 2,  n = 4.

Ответ

(0,3), (2, 4).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	077