Задача 30732

Темы:    [ Раскладки и разбиения ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трёх множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей,
  а) считаются различными?
  б) считаются тождественными?

Решение

  а)  10⁶ = 2⁶·5⁶.  Каждый множитель однозначно определяется количеством двоек и пятёрок, входящих в его разложение. Поэтому задача сводится к разложению шести белых и шести чёрных шаров по трём различным ящикам. Аналогично задаче 30729 получаем     способа.

  б) Есть ровно одно разложение, не зависящее от порядка сомножителей, – в нём все множители равны 100. Те разложения, в которых есть ровно два равных множителя, мы в п. а) сосчитали трижды. В каждый из равных множителей 2 может входить в степени 0, 1, 2 или 3, то есть четырьмя различными способами; столькими же способами может входить 5. Всего получаем 16 разложений такого вида, но одно из них – рассмотренное выше разложение 100·100·100. Количество разложений с тремя различными множителями равно  784 – 1 – 3·15 = 738.  Каждое из них мы сосчитали 6 раз. Всего получаем
1 + 15 + 738 : 6 = 139  разложений.

Ответ

а)    способами;   б) 139 способами.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	2
Год	1936
вариант
Тур	2
задача
Номер	4 (пункт б)
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Комбинаторика-2
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	46 (пункт а)