Задача 30741

Темы:    [ Правило произведения ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

Подсказка

а) На каждом месте каждая из цифр встречается  4² = 16 раз.

Решение

б) Найдём сначала сумму цифр разряда единиц. Каждая цифра от 1 до 7 входит (в качестве цифры единиц) в 6! чисел, значит, эта сумма равна
6!·(1 + 2 + ... + 7) = 28·6!.  То же верно и для остальных разрядов.

Ответ

а)  16·(1 + 2 + 3 + 4)·111 = 17760;   б)  28·6!·1111111.

.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	3
Название	Размещения, перестановки и сочетания
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	2.41 (пункт б)
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Комбинаторика-2
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	55 (пункт а)