Задача 30781

Темы:    [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.

Подсказка

Используйте индукцию по n.

Решение

  Будем строить граф по индукции. База. Для  n = 1  такой граф существует: две вершины, соединённые ребром.
  Шаг индукции. Пусть граф с 2n вершинами и указанными степенями уже построен. Добавим к нему две вершины A и B. Вершину A соединим с n старыми вершинами со степенями 1, ..., n, а также с вершиной B. В результате у половины старых вершин степени не изменятся, у оставшихся – увеличатся на 1, степень A будет равна  n + 1,  а степень B будет равна 1. Это и есть искомый граф с  2n + 2  вершинами.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	13
Название	Графы-2
Тема	Теория графов
задача
Номер	003