Задача 30909

Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Условие

Вокруг экватора натянули верёвку. Затем её удлинили на 1 см и опять натянули, приподняв в одном месте.
Сможет ли человек пройти в образовавшийся зазор?

Решение

  Пусть $h$ – высота зазора между верёвкой и Землей, $R$ – радиус земли, $\ell$ – длина куска верёвки от верхней точки до касания с Землей, $2d$ – расстояние между точками касания верёвки с Землей (см. рис.).

  Из прямоугольного треугольника с катетами $R$ и $\ell$ и гипотенузой $R + h$, получаем  $R \ell = d (R + h)$.  По условию  $2(\ell - d) > 1$ (см), откуда  $dh > R/2$.  Из теоремы о длинах касательной и секущей  $3 Rh > (2R + h) h = \ell^2 > d^2 > \frac{R^2}{4h^2}$, то есть $h>\sqrt[3]{\frac{R}{12}}$. Поскольку $R \approx 600000000$ см, $h > \sqrt[3]{50} \cdot 100$ см $>3$ м.

Ответ

Сможет.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	066