|
|
 |
Условие
По кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число,
у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз.
a) Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук?
б) Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?
Решение
Назовём дружественными числа, стоящие “через одно”.
а) Рассмотрим первый момент, когда все числа стали нулями. Тогда перед этим каждые два дружественных числа равны. Но тогда все числа равны: прыгая через одно, мы пройдём по всем числам из-за нечётности числа 13. Равняться нулю они не могут, так как впервые они превратились в нули после этого. Значит, все они равны 1. Следовательно, за ход перед этим все дружественные пары состоят из различных чисел. Но это невозможно из-за той же нечётности: прыгая через одно, мы вернемся к исходному числу через 13 "прыжков".
б) Предположим, что в какой-то момент все числа стали единицами. Тогда за ход перед этим все дружественные пары состоят из различных чисел. Это также невозможно из-за нечётности: прыгая через одно, мы вернемся к исходному числу через семь "прыжков".
Источники и прецеденты использования
| Кружок | |
| Название | Кировская ЛМШ |
| класс | |
| Класс | 6 |
| год | |
| Год | 2000 год |
| Место проведения | Вишкиль |
| занятие | |
| Номер | Чётность-3 |
| Название | Чётность-3 |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 03 |
| книга | |
| Автор | Иванов С.В. |
| Название | Математический кружок |
| глава | |
| Номер | 1 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 27 |
