|
|
 |
Условие
Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число m хорошее, то и число m + 6 тоже хорошее, а если число n плохое, то и число n + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?
Решение
Предположим, что число – хорошее, а n + 3 – плохое. Тогда с одной стороны, число n + 18 = (n + 3) + 15 должно быть плохим, а с другой стороны, это же число n + 18 = ((n + 6) + 6) + 6 должно быть хорошим.
Если же число n – плохое, а n + 3 – хорошее, то число n + 15 = ((n + 3) + 6) + 6 должно быть одновременно и плохим и хорошим.
Полученное в обоих случаях противоречие доказывает, что числа n и n + 3 всегда принадлежат одному классу. Из этого следует, что любой класс вычетов по модулю 3 является либо целиком хорошим, либо целиком плохим.
Среди первых 2000 чисел каждый такой класс содержит 666 или 667 чисел. Любой класс содержит меньше 1000 чисел, а любые два класса – больше 1000 чисел. Поэтому ровно 1000 хороших чисел быть не может.
Замечания
Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
