Задача 32032

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.
Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

Решение

Обозначим данные точки M₁, M₂, ..., M₁₉₈₃. Рассмотрим на окружности две произвольные диаметрально противоположные точки N₁ и N₂. Согласно неравенству треугольника, учитывая, что  N₁N₂ = 2,  для каждой точки M_i можно записать  M_iN₁ + M_iN₂ ≥ 2.  Сложив эти неравенства, получим     Значит, хотя бы одна из двух сумм в левой части последнего неравенства не меньше 1983.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	06
Дата	1983
задача
Номер	05