|
|
 |
Условие
Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх его цифр. Докажите, что:
а) число всех счастливых билетов чётно;
б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.
Решение
а) Укажем два способа разбиения счастливых билетов на пары.
Первый способ. Переставим в номере билета первые три цифры с последними тремя цифрами. Полученный билет и поставим в пару исходному (например, билету 239671 парой будет 671239). Так мы разбили на пары все билеты кроме тех, которые являются парными сами к себе. Это билеты, для которых первые три цифры номера совпадают с последними тремя цифрами; таких билетов ровно 1000. Значит, общее число счастливых билетов чётно.
Второй способ. Каждому счастливому билету поставим в соответствие билет, номер которого состоит из цифр, дополняющих cоответствующие цифры номера исходного билета до девятки. Например, билет 239601 получит в пару билет 760398. Очевидно парой к каждому счастливому билету является также счастливый билет. При этом никакой билет не получает в пару себя (цифра не может дополнять до девятки самое себя, поскольку 9 – нечётное число). Таким образом, мы получили разбиение всех счастливых билетов на пары.
б) Рассмотрим второй способ разбиения билетов на пары. Сумма номеров билетов в каждой паре равна 999999, значит, она делится на 999. Сложив эти попарные суммы, получим число, кратное 999.
Замечания
Источник решения: книга В.О.Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
