|
|
 |
Условие
Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя.
Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.
Решение
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Поэтому одна из возможных стратегий для Васи – дополнять на каждом ходу Петину цифру до 9. То есть, если Петя пишет 0, то Вася пишет 9, если Петя пишет 1, то Вася пишет 8 и т.д. Таким образом, после каждой пары ходов Пети и Васи сумма цифр будет увеличиваться на 9. К моменту написания всего числа она станет равной 9·6 = 54.
Замечания
1. Указанная стратегия не единственна. На самом деле, независимо от того, какие цифры будут стоять перед последним ходом Васи в первых 11 разрядах, своим последним ходом Вася сможет добиться, чтобы число делилось на 9. То есть все цифры кроме последней Вастя может ставить произвольно!
2. Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
