Условие
Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три,
из которых можно составить треугольник?
Решение
Рассмотрим 10 отрезков с длинами 1, 2, 4, …, 512 (каждый
следующий вдвое длиннее предыдущего). Тогда пусть a, b и c
— длины любых трех из данных отрезков, причем a < b < c. Тогда
можно утверждать, что b ≤ ½c,,
a < ½c,. Сложив последние два неравенства, получаем
b + a < c. Согласно
неравенству треугольника, из отрезков
с длинами a, b и c нельзя составить треугольник.
Замечания
Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова.
Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".
Источники и прецеденты использования
