|
|
 |
Условие
Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов – 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов – 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшую сумму (денег) он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?
Решение 1
Предположим, что Али-Баба смог унести из пещеры x кг золота и y кг алмазов. В этом случае он сможет получить 20x + 60y динаров. Поскольку Али-Баба может поднять не более 100 кг, то x + y ≤ 100 (*).
1 кг золота занимает 1/200, а 1 кг алмазов – 1/40 часть сундука. Значит, x/200 + y/40 или x + 5y ≤ 200 (**).
Сложив неравенства (*) и (**) и умножив на 10, получим:
20x + 60y ≤ 3000. Следовательно, Али-Баба сможет получить за сокровища не более 3000 динаров.
Осталось показать, что Али-Баба сможет унести сокровища на
эту сумму. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в неравенствах (*) и (**) были выполнены равенства. Решив соответствующую систему уравнений, найдём x = 75, y = 25. Это значит, что Али-Баба сможет получить 3000 динаров, взяв из пещеры 75 кг золота и 25 кг алмазов.
Решение 2
Выгодно набить сундук полностью и по весу, и по объёму. Действительно, если сундук неполон, то можно небольшую часть золота заменить на равное по весу количество алмазов. При этом объём и стоимость груза возрастут. Если же сундук весит меньше 100 кг, то можно, наоборот, заменить небольшую часть алмазов на в 5 раз большее по весу количество золота. При этом стоимость груза также возрастёт.
Поэтому (в обозначениях решения 1) x + y = 100 и x + 5y = 200, а стоимость этого груза равна 20x + 60y = 10·(x + y + x + 5y) = 3000 динаров.
(Разумеется, надо убедиться в том, что система имеет решение в неотрицательных числах.)
Ответ
3000 динаров.
